Урок 2.3. Матрицы, системы уравнений, многострочные формулы

Клабаутерман:

Запомните мнемонику: маленькая буква p – parentheses (круглые), маленькая b – brackets (квадратные), большая B – Braces (фигурные), маленькая v – vertical bars (одинарные), большая V – Vertical bars (двойные). Это поможет быстро выбрать нужное окружение.

% Матрица без скобок (окружение matrix)
\[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\]

% Матрица в круглых скобках (pmatrix)
\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\]

% Матрица в квадратных скобках (bmatrix)
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]

% Матрица в фигурных скобках (Bmatrix)
\[
\begin{Bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{Bmatrix}
\]

% Матрица с одинарными вертикальными линиями (vmatrix) — определитель
\[
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
\]

% Матрица с двойными вертикальными линиями (Vmatrix) — норма
\[
\begin{Vmatrix}
x \\
y
\end{Vmatrix}
\]

% Единичная матрица произвольного размера
\[
I_n = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\]

% Матрица с точками
\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]

Клабаутерман:

Обратите внимание: матрица — это просто объект внутри математического режима. Вы можете использовать её в любых формулах: умножать на скаляры, складывать с другими матрицами, заключать в дополнительные скобки через \left и \right.

% Умножение матрицы на вектор
\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ax + by \\
cx + dy
\end{pmatrix}
\]

% Транспонирование
\[
A^T = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}^T
= \begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
\]

% Обратная матрица
\[
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\]

Клабаутерман:

В окружении cases можно использовать символ & для выравнивания колонок. Обычно первая колонка – это выражения, вторая – условия (после запятой). Команда \text{если } позволяет вставить обычный текст внутри системы уравнений.

% Простая система уравнений
\[
\begin{cases}
x + y = 1 \\
x - y = 0
\end{cases}
\]

% Кусочно-заданная функция (модуль)
\[
|x| = \begin{cases}
x, & \text{если } x \geq 0 \\
-x, & \text{если } x < 0
\end{cases}
\]

% Функция ReLU из машинного обучения
\[
f(x) = \begin{cases}
0, & \text{если } x \leq 0 \\
x, & \text{если } x > 0
\end{cases}
\]

% Сложная система с выравниванием
\[
\begin{cases}
3x + 2y - z &= 1 \\
2x - 2y + 4z &= -2 \\
-x + \frac{1}{2}y - z &= 0
\end{cases}
\]

% Система с выравниванием по знаку равно
\[
\begin{aligned}
f(x) &= x^2 + 2x + 1 \\
&= (x + 1)^2
\end{aligned}
\]

% Система с фигурной скобкой и выравниванием
\[
\left\{
\begin{aligned}
x + y &= 1 \\
x - y &= 0
\end{aligned}
\right.
\]

% Множественные выравнивания
\[
\begin{aligned}
(a + b)^2 &= (a + b)(a + b) \\
&= a^2 + ab + ba + b^2 \\
&= a^2 + 2ab + b^2
\end{aligned}
\]

Клабаутерман:

Окружение align автоматически нумерует каждую строку. Если нумерация не нужна, используйте align* (со звездочкой). Символ & задает точку выравнивания – обычно его ставят перед знаком =, чтобы все равенства выстроились в одну колонку.

% Выравнивание нескольких формул по знаку равно
\begin{align}
f(x) &= x^2 + 2x + 1 \\
g(x) &= \sin(x) \\
h(x) &= e^x
\end{align}

% Выравнивание без нумерации (align*)
\begin{align*}
f(x) &= x^2 + 2x + 1 \\
g(x) &= \sin(x) \\
h(x) &= e^x
\end{align*}

% Выравнивание по нескольким точкам
\begin{align}
a_{11} &= 1 & a_{12} &= 2 & a_{13} &= 3 \\
a_{21} &= 4 & a_{22} &= 5 & a_{23} &= 6 \\
a_{31} &= 7 & a_{32} &= 8 & a_{33} &= 9
\end{align}

% Формулы центрируются независимо
\begin{gather}
a + b = c \\
x^2 + y^2 = z^2 \\
E = mc^2
\end{gather}

% Без нумерации
\begin{gather*}
a + b = c \\
x^2 + y^2 = z^2 \\
E = mc^2
\end{gather*}

Клабаутерман:

Окружение multline нумерует только последнюю строку. Если нужно нумеровать все строки, используйте multline с командами \label на каждой строке. На практике multline используется реже, чем align, но для длинных сумм и многочленов это идеальный выбор.

\begin{multline}
f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \\
a_5 x^5 + a_6 x^6 + a_7 x^7 + a_8 x^8 + a_9 x^9 + \\
a_{10} x^{10} + \cdots + a_n x^n
\end{multline}

% Без нумерации
\begin{multline*}
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{p} a_{ij} b_{jk} c_{ki} = \\
\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{p} \left(\sum_{j=1}^{m} a_{ij} b_{jk}\right) c_{ki}
\end{multline*}

% Длинная формула с разрывом через split
\begin{equation}
\begin{split}
f(x, y, z) &= x^3 + y^3 + z^3 + 3xy^2 + 3xz^2 + \\
&\quad 3yx^2 + 3yz^2 + 3zx^2 + 3zy^2 + 6xyz
\end{split}
\end{equation}

% Дробь с разрывом числителя
\[
\frac{\splitfrac{a + b + c + d + e + f + g +}{h + i + j + k + l + m + n}}{x + y + z}
\]

Клабаутерман:

В этом примере мы используем практически все инструменты модуля: матрицы разных типов (pmatrix, vmatrix), системы уравнений (cases), многострочные формулы (align, aligned), ссылки на формулы (\label, \ref), а также команды \underbrace для пояснений под формулами. Это типичный стиль изложения в научных статьях по математике и инженерии.

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\section{Система линейных уравнений}

Рассмотрим систему линейных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 - x_3 = 5 \\
x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -2 \\
3x_1 + x_2 + 2x_3 = 8
\end{cases}
\label{eq:system}
\end{equation}

Эту систему можно записать в матричной форме:
\begin{equation}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 4 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
}_{A}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
}_{\mathbf{x}}
=
\underbrace{
\begin{pmatrix}
5 \\
-2 \\
8
\end{pmatrix}
}_{\mathbf{b}}
\label{eq:matrix-form}
\end{equation}

или короче: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$.

Решение существует, если определитель матрицы $A$ не равен нулю:
\begin{equation}
\det(A) = \begin{vmatrix}
2 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 4 \\
3 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= 2(-4 - 4) - 3(2 - 12) + (-1)(1 + 6)
= -16 + 30 - 7 = 7 \neq 0
\end{equation}

Следовательно, решение единственно и может быть найдено по формуле:
\begin{equation}
\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}
\end{equation}

где обратная матрица вычисляется как:
\begin{align}
A^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \\
&= \frac{1}{7}
\begin{pmatrix}
-8 & -7 & 10 \\
10 & 7 & -9 \\
7 & 7 & -7
\end{pmatrix}
\end{align}

Подставляя значения, получаем решение:
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{1}{7}(-8 \cdot 5 - 7 \cdot (-2) + 10 \cdot 8) = \frac{44}{7} \\
x_2 &= \frac{1}{7}(10 \cdot 5 + 7 \cdot (-2) - 9 \cdot 8) = -\frac{8}{7} \\
x_3 &= \frac{1}{7}(7 \cdot 5 + 7 \cdot (-2) - 7 \cdot 8) = -\frac{35}{7} = -5
\end{aligned}
\end{equation}

\end{document}

Дополнительные полезные команды

% \underbrace и \overbrace — скобки под и над выражением
\[
\underbrace{a + b + c}_{\text{сумма}} + \overbrace{x \cdot y}^{\text{произведение}}
\]

% \underleftarrow и \underrightarrow — стрелки под выражением
\[
\underleftarrow{AB} \quad \text{и} \quad \underrightarrow{f(x)}
\]

% \xleftarrow и \xrightarrow — стрелки с текстом над/под ними
\[
A \xrightarrow{\text{функция } f} B \xleftarrow{\text{обратная}} A
\]

% \stackrel — текст над символом
\[
a \stackrel{\text{def}}{=} b + c
\]

% \overset и \underset — текст над/под выражением
\[
\overset{n \to \infty}{\longrightarrow} \quad \text{и} \quad \underset{x \to 0}{\lim}
\]

Сравнение окружений: когда что использовать

Клабаутерман:

Эта таблица поможет быстро выбрать нужное окружение. На практике чаще всего используются pmatrix, cases, align и aligned – они покрывают 90% задач. Остальные окружения нужны для специфических случаев.