Урок 2.2. Дроби, степени, индексы, корни

% Простая дробь
\[
\frac{1}{2}
\]

% Дробь с переменными
\[
\frac{a}{b}
\]

% Дробь с выражениями
\[
\frac{x + y}{x - y}
\]

% Дробь с числами
\[
\frac{22}{7} \approx 3.14
\]

Клабаутерман:

Команды \dfrac и \tfrac доступны только в пакете amsmath. Не забудьте подключить его в преамбуле. На практике \dfrac используется редко – обычно достаточно оставить встроенные дроби компактными, чтобы не нарушать ритм текста.

% Встроенная: компактная дробь
Площадь круга $S = \frac{\pi r^2}{2}$ вычисляется по формуле.

% Встроенная: полноразмерная дробь
Площадь круга $S = \dfrac{\pi r^2}{2}$ с \dfrac выглядит крупнее.

% Вынесенная: полноразмерная дробь (по умолчанию)
\[
S = \frac{\pi r^2}{2}
\]

% Вынесенная: компактная дробь
\[
S = \tfrac{\pi r^2}{2}
\]

Клабаутерман:

Обратите внимание на порядок: сначала индекс, потом степень (или наоборот – LaTeX поймет в любом порядке). Но для читаемости кода рекомендуется соблюдать единый стиль. Если аргумент сложный, всегда используйте фигурные – это защитит от ошибок.

% Степень: один символ (без скобок)
\[
x^2, \quad a^3, \quad e^x
\]

% Степень: несколько символов (со скобками)
\[
x^{10}, \quad a^{n+1}, \quad e^{x^2}
\]

% Индекс: один символ (без скобок)
\[
x_1, \quad a_n, \quad \sum_i
\]

% Индекс: несколько символов (со скобками)
\[
x_{ij}, \quad a_{n+1}, \quad \sum_{i=1}^{n}
\]

% Степень и индекс одновременно
\[
x_1^2, \quad a_n^{k+1}, \quad \sigma_{ij}^2
\]

% Квадратный корень
\[
\sqrt{2}, \quad \sqrt{x}, \quad \sqrt{a^2 + b^2}
\]

% Корень третьей степени (кубический)
\[
\sqrt[3]{8} = 2, \quad \sqrt[3]{x}
\]

% Корень произвольной степени
\[
\sqrt[n]{x}, \quad \sqrt[4]{16} = 2
\]

% Корень с сложным выражением
\[
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
\]

Клабаутерман:

При вложенных конструкциях особенно важно следить за фигурными скобками. Каждая открывающая { должна иметь закрывающую }. Если вы забыли скобку, LaTeX выдаст ошибку компиляции. Совет: пишите код с отступами, как в примере выше – так легче найти пропущенную скобку.

% Дробь со степенями в числителе и знаменателе
\[
\frac{x^2 + y^2}{a^3 - b^3}
\]

% Дробь с корнем в числителе
\[
\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}
\]

% Корень из дроби
\[
\sqrt{\frac{a}{b}}
\]

% Степень с дробным показателем
\[
x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}
\]

% Сложная вложенная конструкция
\[
\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{a^2 + b^2}}
\]

% Еще более сложная
\[
\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

% Физика: формула Эйнштейна
\[
E = mc^2
\]

% Физика: кинетическая энергия
\[
E_k = \frac{mv^2}{2}
\]

% Математика: квадратное уравнение (корни)
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

% Статистика: стандартное отклонение
\[
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}
\]

% Математика: бином Ньютона
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

% Финансы: сложная процентная ставка
\[
A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}
\]

Типичные ошибки и как их избежать

Клабаутерман:

Это самая частая ошибка новичков. Запомните: ^ и _ применяют действие только к следующему символу. Если вам нужно применить их к выражению из нескольких символов, обязательно заключайте его в фигурные скобки или круглые скобки (в зависимости от смысла).

% НЕПРАВИЛЬНО: степень применяется только к x, а не к x+1
\[
x^2 + 1 \quad \text{(это } x^2 + 1\text{, а не } (x+1)^2\text{)}
\]

% ПРАВИЛЬНО: скобки группируют выражение
\[
(x + 1)^2
\]

% НЕПРАВИЛЬНО: индекс применяется только к a
\[
a + b_1 \quad \text{(это } a + b_1\text{, а не } (a+b)_1\text{)}
\]

% ПРАВИЛЬНО
\[
(a + b)_1
\]

% НЕПРАВИЛЬНО: пустой знаменатель
\[
\frac{1}{} \quad \text{(ошибка компиляции)}
\]

% ПРАВИЛЬНО: всегда заполняйте оба аргумента
\[
\frac{1}{2}
\]

% НЕПРАВИЛЬНО: пропущен аргумент корня
\[
\sqrt \quad \text{(ошибка компиляции)}
\]

% ПРАВИЛЬНО
\[
\sqrt{x}
\]

Клабаутерман:

Команды \left и \right всегда используются парами. Если вам нужна скобка только с одной стороны, используйте \left. или \right. (точка означает невидимую скобку). Это часто нужно для кусочно-заданных функций.

% Обычные скобки (маленькие)
\[
(\frac{a}{b})
\]

% Автоматический размер скобок
\[
\left(\frac{a}{b}\right)
\]

% Скобки вокруг сложного выражения
\[
\left(\frac{x^2 + 1}{\sqrt{y}}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

% Разные типы скобок
\[
\left[ \frac{a}{b} \right], \quad 
\left\{ \frac{a}{b} \right\}, \quad 
\left| \frac{a}{b} \right|
\]

% Скобки только с одной стороны
\[
\left. \frac{a}{b} \right] \quad \text{(левая скобка невидима)}
\]

Клабаутерман:

В этом примере мы использовали все базовые конструкции: дроби (\frac), степени (^), индексы (_), корни (в производной сигмоиды можно было бы добавить \sqrt, но здесь обошлись без них). Обратите внимание, как формулы сочетаются с текстом: простые обозначения (y_i, α) – в строке, сложные выражения – на отдельных строках.

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\section{Основные формулы машинного обучения}

\subsection{Функция потерь (Mean Squared Error)}

Среднеквадратичная ошибка определяется как:
\[
\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2
\]

где $y_i$ --- истинное значение, $\hat{y}_i$ --- предсказание модели.

\subsection{Сигмоида (логистическая функция)}

Функция активации сигмоида:
\[
\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
\]

Её производная имеет простой вид:
\[
\sigma'(z) = \sigma(z) \cdot (1 - \sigma(z))
\]

\subsection{Градиентный спуск}

Обновление весов в градиентном спуске:
\[
w_{t+1} = w_t - \alpha \cdot \nabla L(w_t)
\]

где $\alpha$ --- скорость обучения, $\nabla L$ --- градиент функции потерь.

\subsection{Кросс-энтропия}

Функция потерь для бинарной классификации:
\[
L = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left[ y_i \log(\hat{y}_i) + 
(1 - y_i) \log(1 - \hat{y}_i) \right]
\]

\end{document}

Шпаргалка: основные команды